Position relative de deux plans de l'espace

Propriété

Deux plans de l'espace sont soit sécants suivant une droite, soit parallèles.

• \(P_1\) et \(P_2\) sont parallèles (strictement parallèles ou confondus) :

Les plans  \(P_1\) et \(P_2\) admettent alors une même base.

• \(P_1\) et \(P_2\) sont sécants suivant une droite \(d\)  :
  

Exemple

Soit \(\mathrm{ABCDEFGH}\) un parallélépipède rectangle.

• Les plans \(\mathrm{(BCG)}\) et \(\mathrm{(BCE)}\) sont sécants suivant la droite \(\mathrm{(BC)}\) .
  
• Les plans \(\mathrm{(ABC)}\) et \(\mathrm{(EFG)}\) sont strictement parallèles.
  

Propriétés

• Si un plan  \(P_1\) contient deux droites sécantes parallèles à un second plan \(P_2\) , alors \(P_1\) est parallèle à \(P_2\) .
  

• Si deux plans \(P_1\) et \(P_2\)  sont parallèles, alors tout plan \(P\) qui coupe \(P_1\)  coupe aussi  \(P_2\)  et les droites d'intersection sont parallèles.
  

Théorème du toit

Soit deux plans sécants \(P_1\) et \(P_2\) . Soit une droite \(d_1\)  incluse dans \(P_1\) et une droite \(d_2\) dans \(P_2\) telles que  \(d_1\) et \(d_2\) sont parallèles.
Si \(P_1\) et \(P_2\) sont sécants suivant une droite \(d\) , al ors  \(d/\!/d_1\)  et  \(d/\!/d_2\) .